Грамматический словарь Зализняка (склонения слова):
Боржомный, боржомная, боржомное, боржомные, боржомного, боржомной, боржомного, боржомных, боржомному, боржомной, боржомному, боржомным, боржомный, боржомную, боржомное, боржомные, боржомного, боржомную, боржомное, боржомных, боржомным, боржомной, боржомною, боржомным, боржомными, боржомном, боржомной, боржомном, боржомных, боржомен, боржомна, боржомно, боржомны, боржомнее, поборжомнее, боржомней, поборжомней