Грамматический словарь Зализняка (склонения слова):
Ворковать, воркую, воркуем, воркуешь, воркуете, воркует, воркуют, воркуя, ворковал, ворковала, ворковало, ворковали, воркуй, воркуйте, воркующий, воркующая, воркующее, воркующие, воркующего, воркующей, воркующего, воркующих, воркующему, воркующей, воркующему, воркующим, воркующий, воркующую, воркующее, воркующие, воркующего, воркующую, воркующее, воркующих, воркующим, воркующей, воркующею, воркующим, воркующими, воркующем, воркующей, воркующем, воркующих, ворковавший, ворковавшая, ворковавшее, ворковавшие, ворковавшего, ворковавшей, ворковавшего, ворковавших, ворковавшему, ворковавшей, ворковавшему, ворковавшим, ворковавший, ворковавшую, ворковавшее, ворковавшие, ворковавшего, ворковавшую, ворковавшее, ворковавших, ворковавшим, ворковавшей, ворковавшею, ворковавшим, ворковавшими, ворковавшем, ворковавшей, ворковавшем, ворковавших
ВОРКОВАТЬ, кую, куешь; несов.
1. О голубях: издавать однообразные мягкие гортанные звуки.
2. перен. О влюблённых: нежно разговаривать (разг. шутл.).
воркова́ть
ВОРКОВАТЬ -кую, -куешь; нсв.
1. Издавать мягкие, гортанные звуки (о голубях).
2. Обычно шутл. Мягко, нежно говорить, разговаривать между собой.
◁ Воркование, -я; ср.
ВОРКОВ’АТЬ, воркую, воркуешь, ·несовер. О голубях — издавать свойственный им крик.
| перен. Вести вдвоем нежный влюбленный разговор (·разг. ). Молодожены, забыв о присутствующих, нежно ворковали.
Собственно русское образование от несохранившегося существительного, восходящего к звукоподражательному вър.