Грамматический словарь Зализняка (склонения слова):
Вяз, вязы, вяза, вязов, вязу, вязам, вяз, вязы, вязом, вязами, вязе, вязах
-а, м.
Лиственное дерево (иногда кустарник) сем. ильмовых, отдельные виды которого имеют ценную древесину.
ВЯЗ, а, м. Большое лиственное дерево с прочной древесиной сем. ильмовых.
| прил. вязовый, ая, ое.
ВЯЗ -а; м. Лиственное дерево (иногда кустарник) сем. ильмовых, отдельные виды которого имеют ценную древесину.
◁ Вязовый, -ая, -ое. В-ая кора. В-ое удилище.
ВЯЗ, вяза, ·муж. Большое дерево, очень гибкое, из древесины которого делаются полозья, ободья, части в машинах.
Возможно, название дерева происходит от глагола вязать – ствол его довольно гибок. Возможно также, что название дано по свойствам коры, из которой драли лыко.