Грамматический словарь Зализняка (склонения слова):
Доконать, доконаю, доконаем, доконаешь, доконаете, доконает, доконают, доконая, доконал, доконала, доконало, доконали, доконай, доконайте, доконавший, доконавшая, доконавшее, доконавшие, доконавшего, доконавшей, доконавшего, доконавших, доконавшему, доконавшей, доконавшему, доконавшим, доконавший, доконавшую, доконавшее, доконавшие, доконавшего, доконавшую, доконавшее, доконавших, доконавшим, доконавшей, доконавшею, доконавшим, доконавшими, доконавшем, доконавшей, доконавшем, доконавших
докона́ть
-аю, -аешь; сов., перех.
(несов. доканывать). разг.
Довести до крайности, погубить.
Разбойник Мужика как липку ободрал. — Помилуй, — всплачется Крестьянин, — я пропал, Меня совсем ты доконал. И. Крылов, Крестьянин и Разбойник.
ДОКОНАТЬ, аю, аешь; сов., кого (что) (разг.). Окончательно погубить, уничтожить. Эта весть едва не доконала больного.
| несов. доканывать, аю, аешь.
докона́ть
ДОКОНАТЬ -аю, -аешь; св. кого-что. Разг. Довести до крайности, погубить. Ты меня совсем доконал своими просьбами (измучил до предела). Болезнь его доконала (довела до смерти). Смерть друга его доконала (довела до крайне тяжелого, подавленного состояния).
ДОКОН’АТЬ, доконаю, доконаешь, ·совер., кого-что (·разг. ). Погубить совсем, довести до крайности. Больного доконала лихорадка.
Образовано с помощью приставки от конати – "кончать" и является производным от конъ – "начало". Та же основа присутствует и в слове конец.