Грамматический словарь Зализняка (склонения слова):
Занемочь, занемогу, занеможем, занеможешь, занеможете, занеможет, занемогут, занемог, занемогла, занемогло, занемогли, занемоги, занемогите, занемогший, занемогшая, занемогшее, занемогшие, занемогшего, занемогшей, занемогшего, занемогших, занемогшему, занемогшей, занемогшему, занемогшим, занемогший, занемогшую, занемогшее, занемогшие, занемогшего, занемогшую, занемогшее, занемогших, занемогшим, занемогшей, занемогшею, занемогшим, занемогшими, занемогшем, занемогшей, занемогшем, занемогших
занемо́чь
-могу, -можешь, -могут; прош. занемог, -ла, -ло; сов. устар.
Почувствовать недомогание; заболеть1.
[Василий Андреевич] вышел без шапки отпускать лес, простудился и занемог. Чехов, Душечка.
ЗАНЕМОЧЬ, огу, ожешь, огут; ог, огла; огший; огши; сов. (прост.). Стать больным, захворать.
занемо́чь
ЗАНЕМОЧЬ -могу, -можешь, -могут; занемог, -ла, -ло; св. Разг. Почувствовать недомогание; заболеть. З. надолго. Он простудился и занемог.
ЗАНЕМ’ОЧЬ, занемогу, занеможешь, занемогут, прош. вр. занемог, занемогла, ·совер. (к занемогать). Заболеть, почувствовать недомогание. «Тот (ребенок) занемог, не перенес трудов далекого пути.» Лермонтов.
Производное от глагола немочи – "болеть, хворать", образованного с помощью отрицательной приставки от мочи – "мочь, быть в силах".