Грамматический словарь Зализняка (склонения слова):
Ковылять, ковыляю, ковыляем, ковыляешь, ковыляете, ковыляет, ковыляют, ковыляя, ковылял, ковыляла, ковыляло, ковыляли, ковыляй, ковыляйте, ковыляющий, ковыляющая, ковыляющее, ковыляющие, ковыляющего, ковыляющей, ковыляющего, ковыляющих, ковыляющему, ковыляющей, ковыляющему, ковыляющим, ковыляющий, ковыляющую, ковыляющее, ковыляющие, ковыляющего, ковыляющую, ковыляющее, ковыляющих, ковыляющим, ковыляющей, ковыляющею, ковыляющим, ковыляющими, ковыляющем, ковыляющей, ковыляющем, ковыляющих, ковылявший, ковылявшая, ковылявшее, ковылявшие, ковылявшего, ковылявшей, ковылявшего, ковылявших, ковылявшему, ковылявшей, ковылявшему, ковылявшим, ковылявший, ковылявшую, ковылявшее, ковылявшие, ковылявшего, ковылявшую, ковылявшее, ковылявших, ковылявшим, ковылявшей, ковылявшею, ковылявшим, ковылявшими, ковылявшем, ковылявшей, ковылявшем, ковылявших
ковыля́ть
-яю, -яешь; несов. Раз.
Идти, хромая, припадая на ногу или вперевалку.
В комнату, ковыляя на кривых ножках, вошел маленький старичок. Тургенев, Вешние воды.
[Утки] ныряли и, смешно ковыляя, выкарабкивались на берег. Соколов-Микитов, У синего моря.
Одна нога была у него на деревяшке, но он бойко ковылял на ней, не зная усталости. Гладков, Повесть о детстве.
КОВЫЛЯТЬ, яю, яешь; несов. (разг.). Идти, хромая или с трудом, медленно.
ковыля́ть
КОВЫЛЯТЬ -яю, -яешь; нсв. Разг. Идти, хромая, припадая на ногу, вперевалку или с трудом. К. на кривых ногах. Что же ты ковыляешь еле-еле!
КОВЫЛ’ЯТЬ, ковыляю, ковыляешь, ·несовер. (·разг. ). Итти, хромая или медленно, с трудом передвигая ноги. Ковылял по дороге разбитой походкой старик.
Общепринятой этимологии нет, возможно, является однокоренным с вилять – "шататься". В этом случае изменение ей на вы объясняется влиянием слова ковыль.