Грамматический словарь Зализняка (склонения слова):
Конаться, конаюсь, конаемся, конаешься, конаетесь, конается, конаются, конаясь, конался, коналась, коналось, конались, конайся, конайтесь, конающийся, конающаяся, конающееся, конающиеся, конающегося, конающейся, конающегося, конающихся, конающемуся, конающейся, конающемуся, конающимся, конающийся, конающуюся, конающееся, конающиеся, конающегося, конающуюся, конающееся, конающихся, конающимся, конающейся, конающеюся, конающимся, конающимися, конающемся, конающейся, конающемся, конающихся, конавшийся, конавшаяся, конавшееся, конавшиеся, конавшегося, конавшейся, конавшегося, конавшихся, конавшемуся, конавшейся, конавшемуся, конавшимся, конавшийся, конавшуюся, конавшееся, конавшиеся, конавшегося, конавшуюся, конавшееся, конавшихся, конавшимся, конавшейся, конавшеюся, конавшимся, конавшимися, конавшемся, конавшейся, конавшемся, конавшихся
кона́ться
-аюсь, -аешься; несов. обл.
Перехватывать поочередно руками палку или веревку от одного конца до другого, чтобы определить, кому первому играть, начинать какую-л. работу и т. п.; решать жеребьевкой.
— Что ж, одного Артемья берешь [в проводники], аль еще конаться велишь? Мельников-Печерский, В лесах.
Дележка [у Чубаровых] в разгаре: Автоном собрался уходить из семьи. --- Конались на сковороднике. Коновалов, Былинка в поле.
кона́ться
КОНАТЬСЯ -аюсь, -аешься; нсв. Нар.-разг. Перехватывать поочерёдно руками палку или верёвку от одного конца до другого, чтобы определить кому первому играть, начинать какую-л. работу и т.п.; решать жеребьёвкой.
КОН’АТЬСЯ, конаюсь, конаешься, ·несовер. (·обл. ).
1. Перехватывать поочередно палку руками от одного конца до другого для того, чтобы определить, кому первому играть или начинать какую-нибудь работу (·т.е. последнему ухватившему).
2. Вообще бросать жребий.
3. Тягаться, состязаться.