Грамматический словарь Зализняка (склонения слова):
Корточки, корточек, корточкам, корточки, корточками, корточках
ко́рточки
-чек, -чкам, мн.
◊
@ (сидеть) на корточках
(сидеть) согнув ноги в коленях и держась на носках.
[Наташа] сидела на корточках и, сунув клювик утенка в рот, поила его. С. Антонов, Поддубенские частушки.
@ сесть{ (или присесть и т. п.)} на корточки
принять такое положение.
Тихонов сел на корточки около печки. Паустовский, Северная повесть.
@
КОРТОЧКИ, чек: 1) на корточках (сидеть), на корточки (сесть, опуститься)низко присев с сильно согнутыми коленями; 2) с корточек (подняться)встать, выпрямиться из такого положения.
ко́рточки
КОРТОЧКИ -чек, -чкам; мн.
◊ (Сидеть) на корточках. (Сидеть) согнув ноги в коленях и держась на носках. Сесть (присесть и т.п.) на корточки. Принять такое положение.
К’ОРТОЧКИ, корточек, ед. нет (·разг. ). Только в выражениях: 1) на корточках (сидеть) — согнув ноги в коленях и держась на носках ног; 2) на корточки (опуститься, стать, присесть) — присесть в указанном положении; 3) с корточек (подняться, встать) — встать прямо, поднявшись из указанного положения.
Вероятно, восходит к той же основой, но c измененной корневой гласной, что и короткий.