Грамматический словарь Зализняка (склонения слова):
Осоветь, осовею, осовеем, осовеешь, осовеете, осовеет, осовеют, осовея, осовел, осовела, осовело, осовели, осовей, осовейте, осовевший, осовевшая, осовевшее, осовевшие, осовевшего, осовевшей, осовевшего, осовевших, осовевшему, осовевшей, осовевшему, осовевшим, осовевший, осовевшую, осовевшее, осовевшие, осовевшего, осовевшую, осовевшее, осовевших, осовевшим, осовевшей, осовевшею, осовевшим, осовевшими, осовевшем, осовевшей, осовевшем, осовевших
осове́ть
-ею, -еешь.
сов. к советь.
ОСОВЕТЬ, ею, еешь; сов. (разг.). Впасть в полусонное, вялое и расслабленное состояние. Малыш осовел спать пора.
осове́ть
ОСОВЕТЬ -ею, -еешь; св. (нсв. советь). Разг. = Осоловеть. О. от жары и усталости. Выпив вина, слегка осовел.
ОСОВ’ЕТЬ, осовею, осовеешь (·разг. ·фам. ). ·совер. к советь. «Он, когда начал, то смеялся, а теперь совсем осовел.» Достоевский.
Образовано суффиксально-префиксальным способом от сова в буквальном значении "стать сонным, как сова".