Грамматический словарь Зализняка (склонения слова):
Папаха, папахи, папахи, папах, папахе, папахам, папаху, папахи, папахой, папахою, папахами, папахе, папахах
папа́ха
-и, ж.
Высокая меховая шапка.
Генеральская папаха. Казачья папаха.
□
Легендарный комбриг был изображен в косматой бурке и в белой, лихо заломленной назад папахе. Бабаевский, Кавалер Золотой Звезды.
[Кумыкск., азерб. папах]
ПАПАХА, и, ж. Высокая меховая шапка. Казачья п. Генеральская п.
папа́ха
ПАПАХА -и; ж. [тюрк. papakh] Высокая меховая шапка. Генеральская п. Казачья п.
Слово заимствовано из тюркских языков, где имеет вид папах; современное окончание получило под воздействием слова шапка, имеющего близкое значение.