Грамматический словарь Зализняка (склонения слова):
Побратимство, побратимства, побратимства, побратимств, побратимству, побратимствам, побратимство, побратимства, побратимством, побратимствами, побратимстве, побратимствах
побрати́мство
-а, ср.
Старинный славянский обычай закрепления дружбы приравниванием ее к братским отношениям, сопровождающийся определенным обрядом.
ПОБРАТИМСТВО, а, ср. Старинный славянский обычай закрепления мужской дружбы приравниванием её к братским отношениям.
побрати́мство
ПОБРАТИМСТВО -а; ср. Ведущий своё начало из родового строя обычай, при котором двое или несколько мужчин, не связанных кровным родством, заключают между собой соглашение о помощи, поддержке, приравниваемое к родственной связи.
ПОБРАТ’ИМСТВО, побратимства, мн. нет, ср. (·ист. ). Сохранившийся у южных славян древний обычай закреплять дружбу и возводить ее до степени братства, сопровождая это определенными обрядами.