Грамматический словарь Зализняка (склонения слова):
Подстаканник, подстаканники, подстаканника, подстаканников, подстаканнику, подстаканникам, подстаканник, подстаканники, подстаканником, подстаканниками, подстаканнике, подстаканниках
подстака́нник
-а, м.
Подставка с ручкой (обычно металлическая), в которую вставляют стакан.
Соболев поставил на столик два стакана в серебряных подстаканниках и налил крепкого, почти красного чаю. Катаев, Сын полка.
ПОДСТАКАННИК, а, м. Подставка с ручкой, в к-рую вставляется стакан. Серебряный п.
подстака́нник
ПОДСТАКАННИК -а; м. Цилиндрическая оправа с ручкой, в которую вставляется стакан. Серебряный п. Фамильный п. П. в узорах.
ПОДСТАК’АННИК, подстаканника, ·муж. Подставка с ручкой, обычно металлическая, в которую вставляют стакан. Серебряный подстаканник.