Грамматический словарь Зализняка (склонения слова):
Старейшинство, старейшинства, старейшинства, старейшинств, старейшинству, старейшинствам, старейшинство, старейшинства, старейшинством, старейшинствами, старейшинстве, старейшинствах
СТАР’ЕЙШИНСТВО, старейшинства, мн. нет, ср. (·ист., этногр.). Звание, обязанности старейшины.
старение >