Грамматический словарь Зализняка (склонения слова):
Староверщина, староверщины, староверщины, староверщин, староверщине, староверщинам, староверщину, староверщины, староверщиной, староверщиною, староверщинами, староверщине, староверщинах
СТАРОВЕРЩИНА, староверщины, мн. нет, собир., ·жен. (·разг. ·устар. ). Старообрядцы.