Грамматический словарь Зализняка (склонения слова):
Четверня, четверни, четверни, четверней, четверне, четверням, четверню, четверни, четвернёй, четвернёю, четвернями, четверне, четвернях
четверня́
-и, род. мн. -ей, ж. разг.
Упряжка в четыре лошади; четверка.
Я еще никогда не ездил с таким шиком! Четверня цугом породистых, прекрасных лошадей. Куприн, Прапорщик армейский.
К крыльцу подъезжала запряженная четверней карета. Писемский, Боярщина.
ЧЕТВЕРНЯ, и, род. мн. ей, ж. Упряжка в четыре лошади. Ехать четвернёй.
четверня́
ЧЕТВЕРНЯ -и; мн. род. -ей; ж. Разг.
1. Упряжка в четыре лошади; четвёрка (6 зн.). Ч. породистых лошадей. Запряжённая четвернёй карета.
2. Четверо детей, рождённых одновременно одной матерью; четверо близнецов.
ЧЕТВЕРН’Я, четверни, ·жен. (·разг. ). То же, что четверка в 5 ·знач. «В четырнадцати каретах четвернями (выехало посольство).» А.Н.Толстой.