Грамматический словарь Зализняка (склонения слова):
Бешмет, бешметы, бешмета, бешметов, бешмету, бешметам, бешмет, бешметы, бешметом, бешметами, бешмете, бешметах
бешме́т
-а, м.
Одежда тюркских, монгольских и кавказских народов, плотно прилегающая в груди и в талии и доходящая до колен.
Бэла сидела на кровати в черном шелковом бешмете. Лермонтов, Бэла.
[тат. бишмет]
БЕШМЕТ, а, м. У нек-рых народов Кавказа и Средней Азии: верхняя распашная, обычно стёганая, одежда.
бешме́т
БЕШМЕТ -а; м. [тат. бишмет] У тюркских, монгольских и кавказских народов: верхняя мужская одежда, обычно распашная, стёганая, подпоясывающаяся в талии.
БЕШМ’ЕТ, бешмета, ·муж. (·тат. besmet). Стеганый полукафтан.