Грамматический словарь Зализняка (склонения слова):
Брынза, брынзы, брынзы, брынз, брынзе, брынзам, брынзу, брынзы, брынзой, брынзою, брынзами, брынзе, брынзах
бры́нза
-ы, ж.
Сыр из овечьего молока.
[румын. brînză]
БРЫНЗА, ы, ж. Сыр из овечьего (или смешанного с козьим) молока.
| прил. брынзовый, ая, ое.
бры́нза
БРЫНЗА -ы; ж. [румын. brinza] Сыр из овечьего молока (или смешанного с козьим). Бутерброд с брынзой.
БР’ЫНЗА, брынзы, мн. нет, ·жен. (·румын. branza). Вид сыра из овечьего молока, приготовляемый в Крыму, Бесарабии, на Балканах.
Заимствовано из украинского языка, куда попало из румынского, где brinza – "овечий сыр". Возможно, румынское brinza является праевропейским пастушеским словом.