Грамматический словарь Зализняка (склонения слова):
Гейм, геймы, гейма, геймов, гейму, геймам, гейм, геймы, геймом, геймами, гейме, геймах
-а, м. спорт.
Часть партии, определенное число очков в некоторых играх, преимущественно в теннисе.
[От англ. game — игра]
ге́йм
ГЕЙМ -а; м. [от англ. game — игра]. Спорт. Часть партии в некоторых играх, устанавливаемая по определённому количеству очков. Выиграть, проиграть г., все геймы.
ГЕЙМ, гейма, ·муж. (англ game — игра) (спорт.). Часть партии в некоторых играх, напр. в теннисе.