Грамматический словарь Зализняка (склонения слова):
Застёжка, застёжки, застёжки, застёжек, застёжке, застёжкам, застёжку, застёжки, застёжкой, застёжкою, застёжками, застёжке, застёжках
-и, род. мн. -жек, дат. -жкам, ж.
Приспособление для застегивания.
Семьдесят одежек и все без застежек. Загадка.
Книга на ее коленях шевелилась, и на солнце блестели ее массивные, очевидно, серебряные застежки. М. Горький, Дело с застежками.
Гринько носил черную шляпу и старый черный плащ с застежками в виде львиных голов. Паустовский, Неспокойная юность.
ЗАСТЁЖКА, и, ж. Приспособление для скрепления, соединения бортов одежды, краёв чего-н. (пуговицы и петли, крючки, кнопки, молнии).
| прил. застёжечный, ая, ое и застёжковый, ая, ое.
Это слово является уменьшительной формой от существительного застега с тем же значением. К той же основе восходит и глагол стегать.