Грамматический словарь Зализняка (склонения слова):
Натасчик, натасчики, натасчика, натасчиков, натасчику, натасчикам, натасчика, натасчиков, натасчиком, натасчиками, натасчике, натасчиках
НАТ’АСЧИК, натасчика, ·муж. (охот.). Человек, занимающийся натаской кого-нибудь. Натасчик собак.