Грамматический словарь Зализняка (склонения слова):
Нещечко, нещечки, нещечка, нещечек, нещечку, нещечкам, нещечко, нещечек, нещечком, нещечками, нещечке, нещечках
не́щечко
-а, род. мн. -чек, дат. -чкам, ср. разг. устар.
Сокровище, любимое существо.
Она посвятила всю себя воспитанию этого своего нещечка мальчика Коли. Достоевский, Братья Карамазовы.
Н’ЕЩЕЧКО, нещечка, неопред. мест.
1. Нечто, что-то, кое-что (·обл., ·устар. ). «Как скажу я тебе нещечко, так пожить на свете слюбится.» Фонвизин.
2. в знач. сущ., ср. Дорогой предмет, сокровище, любимое существо (·разг. ·фам. ). «Она посвятила всю себя воспитанию своего нещечка, мальчика Коли.» Достоевский.