Грамматический словарь Зализняка (склонения слова):
Патриаршество, патриаршества, патриаршества, патриаршеств, патриаршеству, патриаршествам, патриаршество, патриаршества, патриаршеством, патриаршествами, патриаршестве, патриаршествах
патриа́ршество
-а, ср.
1.
Система церковного управления с патриархом во главе.
2.
Пребывание в сане патриарха (в 3 знач.), исполнение обязанностей патриарха.
патриа́ршество
ПАТРИАРШЕСТВО -а; ср.
1. Система церковного управления с патриархом во главе. Учреждение патриаршества. Пётр I уничтожил п.
2. Пребывание в сане патриарха (3 зн.), исполнение обязанностей патриарха. П. Никона.
ПАТРИ’АРШЕСТВО, патриаршества, ср. (церк.).
1. только ед. Система церковного управления с патриархом во главе. Учредить партриаршество.
2. То же, что патриарх во 2 ·знач. Константинопольское, иерусалимское и другие патриаршества.
3. только ед. Звание патриарха.