Грамматический словарь Зализняка (склонения слова):
Побеседовать, побеседую, побеседуем, побеседуешь, побеседуете, побеседует, побеседуют, побеседуя, побеседовал, побеседовала, побеседовало, побеседовали, побеседуй, побеседуйте, побеседовавший, побеседовавшая, побеседовавшее, побеседовавшие, побеседовавшего, побеседовавшей, побеседовавшего, побеседовавших, побеседовавшему, побеседовавшей, побеседовавшему, побеседовавшим, побеседовавший, побеседовавшую, побеседовавшее, побеседовавшие, побеседовавшего, побеседовавшую, побеседовавшее, побеседовавших, побеседовавшим, побеседовавшей, побеседовавшею, побеседовавшим, побеседовавшими, побеседовавшем, побеседовавшей, побеседовавшем, побеседовавших
побесе́довать
-дую, -дуешь; сов.
Провести некоторое время в беседе; поговорить.
— Нам принесут бутылку вина, и мы за ней побеседуем… быть может, там вы станете разговорчивее. М. Горький, Отомстил…
ПОБЕСЕДОВАТЬ, дую, дуешь; сов. Провести нек-рое время беседуя. П. с друзьями.
побесе́довать
ПОБЕСЕДОВАТЬ -дую, -дуешь; св. Беседовать некоторое время; поговорить. П. за чашкой кофе. П. по телефону. Всегда рад п. с вами.
ПОБЕС’ЕДОВАТЬ, побеседую, побеседуешь, ·совер. Провести некоторое время в беседе, поговорить. Побеседовав с полчаса, мы разошлись.