Грамматический словарь Зализняка (склонения слова):
Погостить, погощу, погостим, погостишь, погостите, погостит, погостят, погостя, погостил, погостила, погостило, погостили, погости, погостите, погостивший, погостившая, погостившее, погостившие, погостившего, погостившей, погостившего, погостивших, погостившему, погостившей, погостившему, погостившим, погостивший, погостившую, погостившее, погостившие, погостившего, погостившую, погостившее, погостивших, погостившим, погостившей, погостившею, погостившим, погостившими, погостившем, погостившей, погостившем, погостивших
погости́ть
-гощу, -гостишь; сов.
Провести некоторое время в гостях у кого-л. или где-л.
Целые сутки погостил он у своего племянника и много рассказывал о житье-бытье Татьяны. Тургенев, Дым.
Пришло длинное письмо от Тани Песоцкой, которая просила его приехать в Борисовку и погостить. Чехов, Черный монах.
погости́ть
ПОГОСТИТЬ -гощу, -гостишь; св. Провести некоторое время в гостях у кого-л. или где-л. П. у сына. П. в деревне.
ПОГОСТ’ИТЬ, погощу, погостишь, ·совер. Прожить некоторое время в гостях у кого-нибудь, где-нибудь. «Коль жив я буду, чудный остров навещу, у Гвидона погоду.» Пушкин.