Грамматический словарь Зализняка (склонения слова):
Подоплёка, подоплёки, подоплёки, подоплёк, подоплёке, подоплёкам, подоплёку, подоплёки, подоплёкой, подоплёкою, подоплёками, подоплёке, подоплёках
-и, ж.
1.
Подкладка у крестьянской рубахи от плеч до половины груди и спины.
Бумажки сторублевые Домой под подоплекою Нетронуты несут! Н. Некрасов, Кому на Руси жить хорошо.
— Эх матушка, --- знает одна моя грудь да подоплека, что я вынес за напраслину. Н. Успенский, Старуха.
2.
Действительная, но скрытая причина, основание чего-л.
Мы боимся даже невзначай обнаружить ту сокровенную подоплеку, которая составляла основу всей нашей жизни. Салтыков-Щедрин, В среде умеренности и аккуратности.
Андрей чувствовал какую-то тайную подоплеку происходящего, но не мог уловить, в чем дело. Николаева, Жатва.
ПОДОПЛЁКА, и, ж. Скрытая, тайная причина чего-н. П. интриги. В этом деле есть своя п.
Первоначальное значение это слова – "подкладка рубахи". В значении "скрытая причина чего-либо" стало употребляться лишь в XIX в. Восходит к той же основе, что и плечо.