Грамматический словарь Зализняка (склонения слова):
Присяга, присяги, присяги, присяг, присяге, присягам, присягу, присяги, присягой, присягою, присягами, присяге, присягах
прися́га
-и, ж.
Официальное торжественное обещание, клятва соблюдать верность, какие-л. обязательства, поступать согласно с законом.
Военная присяга.
□
Председатель спустил рукава и предложил священнику привести заседателей к присяге. Л. Толстой, Воскресение.
Весной мы приняли присягу, нас произвели в матросы второй статьи. Новиков-Прибой, Капитан 1-го ранга.
ПРИСЯГА, и, ж. Официальное и торжественное обещание. Военная п. Привести к присяге. Принять присягу.
| прил. присяжный, ая, ое (стар.).
прися́га
ПРИСЯГА -и; ж. Официальное торжественное обещание, клятва соблюдать верность, какие-л. обязательства, поступать согласно с законом. Военная п. Торжественная п. П. свидетелей. Принять, дать, принести присягу. Привести к присяге.
ПРИС’ЯГА, присяги, ·жен. Торжественное обещание соблюдать верность, поступать правильно, по закону. «Свои полки привел ему к присяге.» Пушкин. Говорить под присягой. Красная присяга.
Это общеславянское слово образовано от глагола присгати, образованного приставочным способом от сягати – "касаться". Буквальное значение – "прикосновение". Такое переосмысление связано с тем, что, принося клятву, обычно прикасались к какому-либо священному предмету (как, например, к Библии).