Грамматический словарь Зализняка (склонения слова):
Тавлинка, тавлинки, тавлинки, тавлинок, тавлинке, тавлинкам, тавлинку, тавлинки, тавлинкой, тавлинкою, тавлинками, тавлинке, тавлинках
тавли́нка
-и, род. мн. -нок, дат. -нкам, ж. устар.
Плоская табакерка из дерева или бересты.
[Будочник] достал из кармана тавлинку и предложил мне понюхать табачку. Салтыков-Щедрин, Современная идиллия.
ТАВЛ’ИНКА, тавлинки, ·жен. (·устар., ·обл. ). Плоская табакерка из бересты.