Грамматический словарь Зализняка (склонения слова):
Удосужиться, удосужусь, удосужимся, удосужишься, удосужитесь, удосужится, удосужатся, удосужась, удосужился, удосужилась, удосужилось, удосужились, удосужься, удосужьтесь, удосужившийся, удосужившаяся, удосужившееся, удосужившиеся, удосужившегося, удосужившейся, удосужившегося, удосужившихся, удосужившемуся, удосужившейся, удосужившемуся, удосужившимся, удосужившийся, удосужившуюся, удосужившееся, удосужившиеся, удосужившегося, удосужившуюся, удосужившееся, удосужившихся, удосужившимся, удосужившейся, удосужившеюся, удосужившимся, удосужившимися, удосужившемся, удосужившейся, удосужившемся, удосужившихся
удосу́житься
-жусь, -жишься; сов. (несов. удосуживаться). разг.
Найти свободное время, досуг для чего-л.
Много, много нужно бы написать тебе ---, да ни сил, ни времени нет; как удосужусь, так напишу. А. Островский, Письмо Ф. А. Бурдину, 8 марта 1877.
||
Обычно с отрицанием „не“. Не счесть необходимым или желательным уделить время чему-л.
В поселке давно уже косили сено, а он еще ни разу не удосужился побывать на покосе. Седых, Даурия.
УДОСУЖИТЬСЯ, жусь, жишься; сов., с неопр. (разг.). Найти время для того, чтобы что-н. сделать. Не удосужился позвонить.
| несов. удосуживаться, аюсь, аешься.
удосу́житься
УДОСУЖИТЬСЯ -жусь, -жишься; св. с инф. (обычно с отриц.). Разг. Счесть необходимым или желательным сделать что-л., уделить чему-л. время. Кто-л. не удосужился прочитать письмо. Никак не удосужусь сделать ремонт. Не у. убрать постель.
◁ Удосуживаться, -аюсь, -аешься; нсв. Не у. приготовить себе обед.
УДОС’УЖИТЬСЯ, удосужусь, удосужишься, ·совер. (к удосуживаться) (·разг. ). Найти свободное время, досуг для чего-нибудь. Не удосужится написать письма. «Как-то удосужился всадить ему ползаряда дроби в правое плечо.» Кокорев.
Образовано приставочным способом от досужитъся – "находить время, досуг" от досуг.