Грамматический словарь Зализняка (склонения слова):
Ухажёрство, ухажёрства, ухажёрства, ухажёрств, ухажёрству, ухажёрствам, ухажёрство, ухажёрства, ухажёрством, ухажёрствами, ухажёрстве, ухажёрствах
-а, ср. прост.
Ухаживание за женщинами, поведение ухажера.