Грамматический словарь Зализняка (склонения слова):
Флейтщик, флейтщики, флейтщика, флейтщиков, флейтщику, флейтщикам, флейтщика, флейтщиков, флейтщиком, флейтщиками, флейтщике, флейтщиках
фле́йтщик
-а, м. устар.
Военный флейтист.
[Солдаты] стояли двумя рядами друг против друга ---. Позади их стояли барабанщик и флейтщик и не переставая повторяли все ту же неприятную, визгливую мелодию. Л. Толстой, После бала.