Грамматический словарь Зализняка (склонения слова):
Экзархат, экзархаты, экзархата, экзархатов, экзархату, экзархатам, экзархат, экзархаты, экзархатом, экзархатами, экзархате, экзархатах
экзарха́т
-а, м. ист., церк.
Область, на которую распространяется управление экзарха.
экзарха́т
ЭКЗАРХАТ -а; м. [от греч. ex — снаружи и arhē — власть] Церк. Область, на которую распространяется управление экзарха.
ЭКЗАРХ’АТ, экзархата, ·муж. (·ист., церк.).
1. Область, на которую распространяется власть экзарха.
2. только ед. Должность, сан экзарха.