Грамматический словарь Зализняка (склонения слова):
Бричка, брички, брички, бричек, бричке, бричкам, бричку, брички, бричкой, бричкою, бричками, бричке, бричках
бри́чка
-и, род. мн. -чек, дат. -чкам, ж.
Легкая повозка, иногда с откидным верхом.
В ворота гостиницы губернского города NN въехала довольно красивая рессорная небольшая бричка. Гоголь, Мертвые души.
Тарантасы, ландо, брички въезжали непрерывно в каменную ограду, огибали клумбы и подкатывали к веранде. Вс. Иванов, Пархоменко.
БРИЧКА, и, ж. Лёгкая колёсная повозка, иногда крытая.
| прил. бричечный, ая, ое.
бри́чка
БРИЧКА -и; мн. род. -чек, дат. -чкам; ж. Старинная лёгкая дорожная повозка (иногда с откидным верхом). Рессорная, пароконная б. Почтовая б.
БР’ИЧКА, брички, ·жен. (·устар. ). Легкая повозка, иногда с верхом.
В русский язык это слово попало из украинского, который заимствовал его из польского, где bryczka через немецкий и итальянский языки восходит к латинскому birota, что буквально значит "двухколесный экипаж" (bis – "дважды", rota – "колесо").