Грамматический словарь Зализняка (склонения слова):
Гастролёрство, гастролёрства, гастролёрства, гастролёрств, гастролёрству, гастролёрствам, гастролёрство, гастролёрства, гастролёрством, гастролёрствами, гастролёрстве, гастролёрствах
-а, ср.
1.
Пребывание на гастролях.
2.
перен. разг. неодобр. Поведение гастролера (во 2 знач.).