Грамматический словарь Зализняка (склонения слова):
Гнёздышко, гнёздышки, гнёздышка, гнёздышек, гнёздышку, гнёздышкам, гнёздышко, гнёздышки, гнёздышком, гнёздышками, гнёздышке, гнёздышках
-а, род. мн. -шек, дат. -шкам, ср.
уменьш.-ласк. к гнездо (в 1 знач.).