Грамматический словарь Зализняка (склонения слова):
Закорки, закорок, закоркам, закорки, закорками, закорках
зако́рки
-рок, -ркам, мн. прост.
Верхняя часть спины; заплечье.
— Ну, — говорит, — вставай, садись на закорки — снесу, коли уж идти не можешь. Л. Толстой, Кавказский пленник.
Маленькие [дети] едва умели ходить, и их приходилось всюду таскать с собой на закорках. Паустовский, Во глубине России.
ЗАКОРКИ, рок: на закорки или на закорках (разг.) на плечи и на верхнюю часть спины или на плечах и на верхней части спины. Сесть на закорки. Нести на закорках.
ЗАК’ОРКИ, закорок, ед. нет (·разг. ). Заплечье и поясница, преим. в выражениях: на закорки и на закорках. «Ну,... вставай, садись на закорки — снесу.» Л.Толстой. Нести на закорках. Сидеть у кого-нибудь на закорках.
Это существительное, имеющее значение "верхняя часть спины", по всей вероятности, образовано с помощью приставки от исчезнувшего корки – "плечи, спина" (легшего в основу глагола корчиться – "гнуться, сгибаться").