Грамматический словарь Зализняка (склонения слова):
Кляча, клячи, клячи, кляч, кляче, клячам, клячу, кляч, клячей, клячею, клячами, кляче, клячах
кля́ча
-и, ж. пренебр.
Плохая, заморенная лошадь.
Лошадь, старая, разбитая кляча, вся в мыле, стояла как вкопанная. М. Горький, В людях.
КЛЯЧА, и, ж. (разг. пренебр.). Плохая (обычно старая) лошадь. Заморённая к. Как загнанная к. кто-н. (устал от постоянных трудов, забот).
| унич. клячонка, и, ж.
кля́ча
КЛЯЧА -и; ж. Пренебр.
1. Плохая, заморенная лошадь.
2. Разг.-сниж. О пожилой, измученной женщине. Старая к.! Превратиться в клячу раньше времени.
КЛ’ЯЧА, клячи, ·жен.
1. Тощая, слабая, больная лошадь. На такой кляче далеко не уедешь.
2. перен. Усталый, изнуренный, физически слабый человек (как рабочая сила; ·разг. ·фам. ). Я так ослаб, что стал клячей.
Образовано от той же основы, что и глагол клякати – "падать на колени, шататься", существовавший параллельно с формой клячити, к которой восходит клянчить.