Грамматический словарь Зализняка (склонения слова):
Кутузка, кутузки, кутузки, кутузок, кутузке, кутузкам, кутузку, кутузки, кутузкой, кутузкою, кутузками, кутузке, кутузках
куту́зка
-и, род. мн. -зок, дат. -зкам, ж. прост.
Тюрьма, арестантская камера.
Евгений Васильевич едва мог разыскать Гаврюшку, который успел подраться с поварами и был посажен в кутузку. Мамин-Сибиряк, Человек с прошлым.
Нас отвели в волостное правление, посадили в кутузку: бабушку в женскую камеру, меня в мужскую. Арамилев, В лесах Урала.
куту́зка
КУТУЗКА -и; мн. род. -зок, дат. -зкам; ж. Разг. Тюрьма, арестантская камера. Попасть в кутузку.
КУТ’УЗКА, кутузки, ·жен. (·прост. ·фам. ). Тюрьма, арестное помещение. Пьяного посадили в кутузку.
Это название для тюрьмы, возможно, было образовано из заимствованного из тюркских языков кутуз – "узелок с вещами".