Грамматический словарь Зализняка (склонения слова):
Флаг-штурман, флаг-штурманы, флаг-штурмана, флаг-штурманов, флаг-штурману, флаг-штурманам, флаг-штурмана, флаг-штурманов, флаг-штурманом, флаг-штурманами, флаг-штурмане, флаг-штурманах
флаг-шту́рман
ФЛАГ-ШТУРМАН -а; м. Штурман флагманского корабля или самолёта. Флаг-штурман полярной экспедиции. Помощник флаг-штурмана.