Грамматический словарь Зализняка (склонения слова):
Дрожки, дрожек, дрожкам, дрожки, дрожками, дрожках
дро́жки
-жек, -жкам, мн.
Легкий открытый экипаж.
Беговые дрожки. Легковые дрожки.
ДРОЖКИ, жек, жкам. Лёгкий открытый рессорный экипаж. Беговые д.
| прил. дрожечный, ая, ое.
дро́жки
ДРОЖКИ -жек, -жкам; мн. Лёгкий открытый экипаж. Беговые д. Легковые д.
ДР’ОЖКИ, дрожек, дрожкам, ед. нет (·устар. ). Легкий четырехколесный экипаж. Извозчичьи дрожки. Беговые дрожки.
Это существительное в значении "легкий экипаж" является уменьшительным от дроги – "простая телега". Основа дрог, вероятно, родственна древнеисландскому draga – "тянуть". В современном английском языке находим родственное слово drag – "тащить, тянуть".