Грамматический словарь Зализняка (склонения слова):
Вертопрах, вертопрахи, вертопраха, вертопрахов, вертопраху, вертопрахам, вертопраха, вертопрахов, вертопрахом, вертопрахами, вертопрахе, вертопрахах
вертопра́х
-а, м. разг.
Легкомысленный, ветреный человек.
Прошло еще дня три, он пошел к парикмахеру, щеголю и вертопраху. М. Горький, Сказки об Италии.
ВЕРТОПРАХ, а, м. (разг.). Легкомысленный, ветреный человек.
вертопра́х
ВЕРТОПРАХ -а; м. Разг. Легкомысленный, ветреный человек.
ВЕРТОПР’АХ, вертопраха, ·муж. (·разг. ). Легкомысленный, ветреный человек.
Собственно русское слово (значение его – "легкомысленный человек, гуляка") образовано сложением основ верт (от вертеть) и прах (от диалектального прах – "мот, гуляка"; в диалектах глагол прошить имеет значение "гулять, мотать").