Грамматический словарь Зализняка (склонения слова):
Нагайка, нагайки, нагайки, нагаек, нагайке, нагайкам, нагайку, нагайки, нагайкой, нагайкою, нагайками, нагайке, нагайках
нага́йка
-и, род. мн. -гаек, дат. -гайкам, ж.
Короткая ременная плеть.
Я быстро повернул назад лошадь и судорожно сжал рукоятку нагайки. Куприн, Олеся.
В толпу, помахивая нагайками, въехал отряд конных. М. Горький, 9-е января.
НАГАЙКА, и, ж. Короткая ременная плеть. Казачья н.
| прил. нагаечный, ая, ое.
нага́йка
НАГАЙКА -и; мн. род. -гаек, дат. -гайкам; ж. Короткая ременная плеть, которой погоняют лошадь. Хлестнуть коня нагайкой. Казачья н.
◁ Нагаечный, -ая, -ое. Н-ая рукоятка.
НАГ’АЙКА, нагайки, ·жен. Короткая и тяжелая плеть из ремней. Казацкая нагайка. (·первонач. ногайская, ·т.е. татарская, плеть.)
II. НАГ’АЙКА, НАГАЙСКИЙ, НАГАЙЦЫ. см. ногайка, ногайский, ногайцы.
Название этой плетки, ставшей символом казачества, является заимствованием из тюркских языков. Нагайка была изобретена вовсе не казаками, а позаимствована ими вместе со словом у татаро-монголов, или ногаев (нагаев, как их еще называют), о чем и свидетельствует название этого приспособления.