Грамматический словарь Зализняка (склонения слова):
Папенька, папеньки, папеньки, папенек, папеньке, папенькам, папеньку, папенек, папенькой, папенькою, папеньками, папеньке, папеньках
па́пенька
-и, род. мн. -нек, дат. -нькам,
м. разг. устар. ласк. к папа 1.
— Что, Маша, страшно тебе? — Нет, папенька, — отвечала Марья Ивановна. Пушкин, Капитанская дочка.
— Я хотела послать папеньку в город к вам, — сказала она, — да не знала, где вы живете. И. Гончаров, Обыкновенная история.
ПАПЕНЬКА, и, м. (устар. разг.). Папа, отец.
па́пенька
ПАПЕНЬКА см. 1. Папа.
П’АПЕНЬКА, папеньки, ·муж. (·разг. ·устар. ). Ласкательное или почтительное обозначение отца. «Марья Гавриловна подошла здороваться с папенькой и с маменькой.» Пушкин.